Question

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在處的切線與直線垂直.

（1）取函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若存在實數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，得，

根據(jù)是偶數(shù)可求出，最后根據(jù)在處的切線與直線垂直，建立關(guān)系式即可求解函數(shù)的解析式；

（2）分類參數(shù)，令，則，再設(shè)，得到，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解實數(shù)的取值范圍.

因為，所以，即在上遞減，

試題解析：

（1），因為在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，

所以，由是偶函數(shù)得，

又在處的切線與直線垂直，所以 .

解得，即.

（2）由已知的存在實數(shù)，使，

即存在，使，

設(shè)，則，

設(shè)，則，

因為，所以，即在上遞減，

于是，即，即，

所以在上遞減，所以，

故的取值范圍為.