設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
1x+b
(a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x三角形的面積為定值,并求出此定值.
分析:(1)欲求在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(2)先在曲線上任取一點(diǎn)(x0,x0+
1
x0-1
).利用導(dǎo)數(shù)求出過此點(diǎn)的切線方程為,令x=1得切線與直線x=1交點(diǎn).令y=x得切線與直線y=x交點(diǎn).從而利用面積公式求得所圍三角形的面積為定值.
解答:解:(1)f′(x)=a-
1
(x+b)2
,
于是
2a+ 
1
2+b
=3
a-
1
(a+b)2
=0
解得
a=1
b=-1
a=
9
4
b=-
8
3
因a,b∈Z,故f(x)=x+
1
x-1


(2)證明:在曲線上任取一點(diǎn)(x0,x0+
1
x0-1
).
由f′(x0)=1-
1
(x0-1)2
知,過此點(diǎn)的切線方程為y-
x
2
0
-x0+1
x0-1
=[1-
1
(x0-1)2
](x-x0).
令x=1得y=
x0+1
x0-1
,切線與直線x=1交點(diǎn)為(1,
x0+1
x0-1
).
令y=x得y=2x0-1,切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-1,2x0-1).
直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1).
從而所圍三角形的面積為
1
2
|
x0+1
x0-1
-1|•|2x0-1-1|=
1
2
|
2
x0-1
||2x0-2|=2.
所以,所圍三角形的面積為定值2.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.屬于中檔題.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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12
)的值.

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(2009•楊浦區(qū)一模)(文)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+1-2(a>1)的反函數(shù)為y=f-1(x),則f-1(-1)=
-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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