(本題滿分14分)
設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個極值點,且。
(1) 用a表示,并求出a的取值范圍.
(2) 證明: .
(3) 若函數(shù) ,證明:當(dāng)且x1<0時, .
(1)0<a≤1
(2)略
(3)略
【解析】解:(1)∵f (x ) =x3 + x2–a2 x,∴f 1(x ) = a x2 + bx–a2 ……(1分)
∵x1 ,x 2是f (x )的兩個極值點,∴x1 ,x 2是方程a x2 + bx–a2=0的兩個實根(2分)
∵a > 0 ,∴x1 x 2=-a<0,x1 +x 2= ,∴︱x1︱+︱x 2︱=︱x1 - x 2 ︱==2,
∴,∴b2 = 4a2 -4a3 ……………………(4分)
∵b2≥0 ,∴4a2 -4a3≥0 ,∴0<a≤1…………………………(5分)
(2)∵b2 = 4a2 -4a3 (0<a≤1),令g(a)= 4a2 -4a3 ,∴ (a ) =8 a–12a2…(6分)
由 (a) >0 ,得0<a< , 由 (a) <0 ,得<a≤1.
∴g(a)在(0 , )上遞增,在( , 1)上遞減.……………………………(8分)
∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g()=.
∴g(a) ≤.∴ b2≤.∴ ∣b︱≤……(10分)
(3)∵x1 ,x 2是方程a x2 + bx–a2=0的兩個實根,∴f 1(x ) = a(x–x1)(x-x 2).
∴h(x ) = a(x–x1)(x-x 2)-2a(x–x1)= a(x–x1)(x-x 2-2)………(11分)
∴∣h(x )∣= a∣x–x1∣∣x-x 2-2∣≤……(12分)
∵x>x1 ,∴x–x1>0. 又∵x1<0,∴x1 x 2<0 ,∴ x 2>0 .∴ x 2+2>2 .
又∵x<2,∴x-x 2-2<0 ……………………………………………(13分)
∴∣h(x )∣≤=.
又∵∣x1∣+∣x2∣=2,且x1<0, x 2>0 ,∴ x 2-x1=2 .
將其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………(14分)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π |
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,為上的點,且BF⊥平面ACE.
(1)求證:AE⊥BE;(2)求三棱錐D-AEC的體積;(3)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面DAE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}
(Ⅰ)若AB=[0,3],求實數(shù)m的值
(Ⅱ)若ACRB,求實數(shù)m的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知點是⊙:上的任意一點,過作垂直軸于,動點滿足。
(1)求動點的軌跡方程;
(2)已知點,在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、,使 (O是坐標(biāo)原點),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高一第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷的奇偶性;
(3)方程是否有根?如果有根,請求出一個長度為的區(qū)間,使
;如果沒有,請說明理由?(注:區(qū)間的長度為).
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