【題目】設(shè)f(x)=x ln x﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f′(x ),求 g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a≤0時(shí),直線 y=t(﹣1<t<0)與f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1 , t),B(x2 , t),且x1<x2 , 求證:x1+x2>2.

【答案】解:(Ⅰ)由f′(x)=lnx﹣2ax+2a, 得g(x)=lnx﹣2ax+2a,x∈(0,+∞),
則g′(x)= ﹣2a=
a≤0時(shí),x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)遞增;
a>0時(shí),x∈(0, )時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)遞增;
x∈( ,+∞)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)遞減;
∴a≤0時(shí),函數(shù)g(x)在(0,+∞)遞增,
a>0時(shí),函數(shù)g(x)在(0, )遞增,在( ,+∞)遞減;
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得:f′(1)=0,
a≤0時(shí),f′(x)是遞增函數(shù),且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減,
x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增,
∴f(x)在x=1處取得極小值,且f(x)min=f(1)=a﹣1≤﹣1,
∴0<x1<1<x2 ,
∴f(x2)﹣f(2﹣x1)=f(x1)﹣f(2﹣x1
=x1lnx1﹣a +(2a﹣1)x1﹣[(2﹣x1)ln(2﹣x1)﹣a +(2a﹣1)(2﹣x1)]
=x1lnx1﹣(2﹣x1)ln(2﹣x1)﹣2(x1﹣1),
令h(x1)=x1lnx1﹣(2﹣x1)ln(2﹣x1)﹣2(x1﹣1),
h′(x1)=lnx1+ln(2﹣x1)=lnx1(2﹣x1)=ln[1﹣ ]<0,
于是h(x1)在(0,1)遞減,
故h(x1)>h(1)=0,
由此得f(x2)﹣f(2﹣x1)>0,即f(x2)>f(2﹣x1),
∵2﹣x1>1,x2>1,f(x)在(1,+∞)遞增,
∴x2>2﹣x1即x1+x2>2.
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)求出f(x)min=f(1)=a﹣1≤﹣1,得到0<x1<1<x2 , 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在四菱錐P﹣ABCD中,PA⊥AD,PA=1,PC=PD,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,CD=2.
(I)求證:PA⊥AB;
(II)求直線AD與平面PCD所成角的大。

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【題目】已知點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn),點(diǎn)P到直線l1:x=﹣2的距離為d1 , 到點(diǎn)F(﹣1,0)的距離為d2 , 且 = .直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B(A,B都在x軸上方),且∠OFA+∠OFB=180°.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l方程;
(3)對于動(dòng)直線l,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論∠OFA如何變化,直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬試驗(yàn),準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨,其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表

方式

實(shí)施地點(diǎn)

大雨

中雨

小雨

模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù)

A

4次

6次

2次

12次

B

3次

6次

3次

12次

C

2次

2次

8次

12次

假定對甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響,請你根據(jù)人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
(I)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;
(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.

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【題目】已知一個(gè)平放的各棱長均為 4 的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球,現(xiàn)從該三棱錐頂端向錐內(nèi)注水,小球慢慢上。(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的 時(shí),小球恰與該三棱錐各側(cè)面及水面相切(小球完全浮在水面上方),則小球的表面積等于(
A.
B.
C.
D.

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【題目】為了解本市居民的生活成本,甲、乙、內(nèi)三名同學(xué)利用假期分別對三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為x1 , x2 , x3 , 則它們的大小關(guān)系為(
A.s1>s2>s3
B.s1>s3>s2
C.s3>s2>s1
D.s3>s1>s2

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)F是橢圓 (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn).過點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)D,交拋物線E于A、B兩點(diǎn),線段DF的中點(diǎn)為M,直線OM交橢圓C于P、Q兩點(diǎn),記直線OM的斜率為k',滿足
(1)求橢圓C的方程;
(2)記△PDF的面積為S1 , △QAB的面積為S2 , 設(shè) ,求實(shí)數(shù)λ的最大值及取得最大值時(shí)直線l的方程.

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【題目】如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,它們所在平面互相垂直,F(xiàn)D⊥平面ABCD,且FD=
(I)求證:EF∥平面ABCD;
(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= +lnx﹣3有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2(x1<x2) (Ⅰ)求證:0<a<e2
(Ⅱ)求證:x1+x2>2a.

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