Question

12．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³（a＞0，a≠1）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）由可推知f（-x）=f（x），從而可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用（1）知f（x）為偶函數(shù)，可知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x³＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當(dāng)a＞1時(shí)即可．

解答 解：（1）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（-x）³=-（$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$）x³=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在定義域上是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（2x）在定義域上也是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x³＞0，
∴只需$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{（{a}^{x}）^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$＞0，即$\frac{{a}^{2x}+{a}^{x}+1}{{a}^{2x}-1}$＞0，
∵a^2x+a^x+1＞0，
∴（a^x）²-1＞0，解得a＞1，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，突出轉(zhuǎn)化思想與分析法的應(yīng)用，屬于中檔題．