Question

重慶市某中學(xué)計(jì)劃2010年在重慶新聞、影視頻道“做100周年校慶”總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，新聞、影視頻道的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定新聞、影視頻道為我校所做的每分鐘廣告，能給學(xué)校帶來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元．問(wèn)學(xué)校如何分配在新聞、影視頻道的廣告時(shí)間，才能使學(xué)校的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：本題先找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，即先設(shè)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，然后根據(jù)題意建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)平移的方法解決最優(yōu)解，從而得到結(jié)論．準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答：解：設(shè)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，
由題意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

目標(biāo)函數(shù)為z=3000x+2000y．  （6分）
二元一次不等式組等價(jià)于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：
作直線z=3000x+2000y
當(dāng)直線l過(guò)M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元） （13分）
答：在新聞、影視頻道分別做100，200分鐘廣告，收益最大，最大收益是70萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問(wèn)題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．