Question

(16分)已知：數(shù)列，中，=0，=1，且當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）求最小自然數(shù)，使得當(dāng)≥時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式≥恒成立；

（3）設(shè) （∈），求證：當(dāng)≥2都有＞2.

Answer 1

 解析：(1) ∵當(dāng)∈時(shí)，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.

∴2=+, =.         ………………………………………2分

又∵，，∴≥0，≥0 , 且,

∴（≥２）,………………………………………………4分

∴數(shù)列是等差數(shù)列，又,∴,也適合.

∴， .   ………………………………………………………6分

(2) 將，代入不等式≥   （）

整理得：≥0  ………………………………………………8分

令，則是關(guān)于的一次函數(shù)，

由題意可得    ∴  ，解得≤1或≥3. 

∴存在最小自然數(shù)，使得當(dāng)≥時(shí)，不等式（）恒成立．…………………10分

(3) 由(1)得：…＋.∴，（≥2），

∴              …………………………………………………12分

由（）+（）+…＋（）

…＋）…＋，

即：…＋）…＋  ……………………14分

∵…＋＜…＋

=…＋

=＜1

∴當(dāng)n≥2時(shí)，＞2（…＋）． ……………………………………16分