Question

若x²+y²-2ax+4y+a²+3=0與x²+y²-14x-2y+14=0所表示的曲線相互內切，則a的值為

11或3

．

Answer 1

分析：將兩曲線方程化成圓的標準方程形式，可得它們表示以C₁（a，-2）、C₂（7，1）為圓心，半徑分別為1和6的圓．再根據兩圓內切的性質，利用兩點的距離公式建立關于a的等式，解之即可得到實數a的值．

解答：解：曲線x²+y²-2ax+4y+a²+3=0化成標準方程，得（x-a）²+（y+2）²=1，
∴該曲線表示以C₁（a，-2）為圓心，半徑r₁=1的圓．
同理，可得曲線x²+y²-14x-2y+14=0表示以以C₂（7，1）為圓心，半徑r₂=6的圓．
∵兩曲線相互內切，∴圓心C₁、C₂的距離等于兩圓半徑之差的絕對值，
即|C₁C₂|=|6-1|=5，可得

(a-7)2+(-2-1)2

=5，解之得a=11或3．
故答案為：11或3

點評：本題給出含有參數a的兩圓相內切，求a的值．著重考查了圓的標準方程、兩點間的距離公式和兩圓位置關系等知識點，屬于中檔題．