Question

【題目】設(shè)不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區(qū)域為V．
（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個整點(diǎn)在區(qū)域V的概率；
（2）在區(qū)域U內(nèi)任取3個點(diǎn)，記這3個點(diǎn)在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13個，

平面區(qū)域V的整點(diǎn)為（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5個，

∴

（2）解：依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π22=4π，平面區(qū)域V的面積為： ，

在區(qū)域U內(nèi)任取1個點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率為 ，

易知：X的可能取值為0，1，2，3，

且 ，

∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P

∴X的數(shù)學(xué)期望：

（或者： ，故

【解析】（1）由題意知本題是一個古典概型，用列舉法求出平面區(qū)域U的整點(diǎn)的個數(shù)N，平面區(qū)域V的整點(diǎn)個數(shù)為n，這些整點(diǎn)中恰有2個整點(diǎn)在區(qū)域V的概率 ；（2）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π22=4π，平面區(qū)域V的面積為： ，在區(qū)域U內(nèi)任取1個點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率為 ，易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3， ），代入概率公式即可求得求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．