Question

【題目】如圖，在幾何體P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E，F(xiàn) 分別為AC，BP中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E． 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)，所以EF是△BDP的中位線，
所以EF∥DP．
又DP平面PCD，EF平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO．

∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，
OP= ，DP= ，在Rt△DOP中，sin∠PDO= ，
∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）連結(jié)BD，則E為BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（Ⅱ）取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．