Question

設(shè)橢圓C₁：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖，若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，），N為拋物線C₂上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知B（0，-1），則A（0，-2），故b=2，
令y=0，得即x=±1，
則F₁(-1，0)，F(xiàn)₂(1，0)，故c=1，
所以，，
于是橢圓C₁的方程為：．
（Ⅱ）設(shè)N（），由知，
直線PQ的方程為：，即，
代入橢圓方程整理，得，
 =，
∴，，
故
，
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則，
所以，△MPQ的面積
S
，
當(dāng)t=±3時(shí)取到“=”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)△＞0，滿足題意；
綜上可知，△MPQ的面積的最大值為．