Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）導函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當k為偶數(shù)時，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．證明：數(shù)列{}中不存在成等差數(shù)列的三項；
（Ⅲ）當k為奇數(shù)時，設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明不等式?對一切正整數(shù)n均成立，并比較S₂₀₁₂-1與ln2012的大�。�

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k =，
1°當k 為奇數(shù)時，f′（x）=，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°當k 為偶數(shù)時，f′（x）=，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
綜上所述，當k 為奇數(shù)時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），當k 為偶數(shù)時，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
（Ⅱ）當k 為偶數(shù)時，由（1）知f′（x）=2x-，∴f′（a_n）=2a_n-，
由條件得：2（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²+1=2（a_n ²+1），
∴{a_n ²+1}是一個公比為2的等比數(shù)列，∴a_n²=2ⁿ-1，
假設(shè)數(shù)列{a_n²}中的存在三項a_r ²，s ²，a_t ²，能構(gòu)成等差數(shù)列
不妨設(shè)r＜s＜t，則2a_s ²=a _r ²+a_t ²，
即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，∴2 ^s-r+1=1+2 ^t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2 ^s-r+1為偶數(shù)，1+2 ^t-r為奇數(shù)，故假設(shè)不成立，
因此，數(shù)列{a_n²}中的任意三項不能構(gòu)成等差數(shù)列；
（Ⅲ） 當k為奇數(shù)時，f′（x）=2（x+），
∴b_n=f′（n）-n=，S_n=1+++…+
要證（1+b_n）＞e，即證（1+）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數(shù)，
即證ln（1+）＞（10分）
設(shè)1+=t，則n=，
lnt＞1-（t＞1），構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+-1，
∵x＞1，∴g′（t）=＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-，∴（1+b_n）＞e，
S₂₀₁₂-1=（1+++…+）-1=++…+，
∵ln（1+）＞，∴++…+＜ln2+ln（1+）+…+ln（1+）=ln2+ln+…+ln
=ln（2××…×）=ln2012，
∴++…+＜ln2012，
分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，f′（x），再對k進行奇偶數(shù)討論：1°當k 為奇數(shù)時；2°當k 為偶數(shù)時；分別得出導數(shù)值為正或負時的x的取值集合，最后綜合即可；
（II）當k 為偶數(shù)時，由（1）知f′（x），由條件得{a_n ²+1}是一個公比為2的等比數(shù)列，從而得到a_n²=2ⁿ-1，最后利用反證法進行證明即可；
（Ⅲ） 當k為奇數(shù)時，f′（x）=2（x+），要證（1+b_n）＞e，即證（1+）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數(shù)，即證ln（1+）＞，設(shè)1+=t，構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt+-1，利用導數(shù)工具研究其單調(diào)性即可證得lnt＞1-，最后利用累乘法即可證出S₂₀₁₂-1＜ln2012．
點評：本小題主要考查等差關(guān)系的確定、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．