Question

【題目】已知函數(shù),.

(1)若曲線在處的切線方程為,求的值；

（2）在(1)的條件下,求函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若不等式對任意都成立,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)兩個；(3).

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合切線方程可以求出的值,最后計算即可；

(2)由(1)求出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點存在原理,可以判斷出函數(shù)零點的個數(shù)；

(3)設(shè),對它進行求導(dǎo),根據(jù)的不同取值,分類討論判斷出函數(shù)的單調(diào)調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的最值情況求出a的取值范圍.

(1),

由題意，,,解得，,,所以.

(2)由(1)知,,

令，得,

且當(dāng)時,；當(dāng)時,，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為,,，函數(shù)在區(qū)間和上的圖象是一條不間斷的曲線,由零點存在性定理,

所以函數(shù)有兩個零點.

(3)設(shè),即，，

，

當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以最小值為，不合題意；

當(dāng)時，，

令，得.

若，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

所以最小值為，只需，即，

所以符合；

若，即時，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

所以的最小值為，

所以符合.

綜上,a的取值范圍是.