Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，f（x）取得極小值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求使得方程僅有整數(shù)根的所有正實(shí)數(shù)n的值；
（3）設(shè)g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴b=d=0，…（2分）
又由及，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x³+x．…（4分）
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)時(shí)f'（x）＞0，
∴f（x）在時(shí)取得極小值，
∴f（x）=-x³+x為所求．…（5分）
（2）方程，
化簡得：x²-nx+4n=0，
因?yàn)榉匠虄H有整數(shù)解，故n為整數(shù)，
又由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又，
故x-4為16的正約數(shù)，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，進(jìn)而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因?yàn)間（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數(shù)，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
記h（x）=x³-3tx，∵h(yuǎn)'（x）=3x²-3t=3（x²-t），
①t≤0時(shí)，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上單調(diào)增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0時(shí)，由h'（x）=0得，，和，
i．當(dāng)即t≥1時(shí)，h（x）在[0，1]上單調(diào)減，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F(xiàn)（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．當(dāng)即0＜t＜1時(shí)，h（x）在單調(diào)減，單調(diào)增，
（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，，∴，
（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，∴F（t）=h（1）=1-3t，
綜上可知，．…（16分）
分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)，知b=d=0，由及，知a=-1，c=1，由此能求出f（x）．
（2）由方程，知x²-nx+4n=0，由方程僅有整數(shù)解，知n為整數(shù)，由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0，由此能求出n．
（3）由g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函數(shù)，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-3tx，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x）的最大值F（t）．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查所有正實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．