【題目】如圖,在長方體中, 與平面及平面所成角分別為, , 分別為的中點,且.

(1)求證: 平面

(2)求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)中位線定理可得MN∥CD,由長方體的性質(zhì)可得CD⊥平面,從而可得結(jié)果;(2)以AB,AD, 所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系,可得結(jié)果.

試題解析:(1)證明:在長方體中,

因為,所以的中位線,

所以MN∥CD,

又因為CD⊥平面,

所以MN⊥平面

(2)解:在長方體中,因為CD⊥平面,

所以與平面所成的角,

=,

又因為⊥平面,

所以與平面所成的角,

,

所以, , =,

如圖2,分別以AB,AD, 所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

∴A(0,0,0),D(0,2,0), , ,C(2,2,0),B(2,0,0),

在正方形ABCD中,BD⊥AC,

是平面的法向量, .

設(shè)平面的法向量為,

, ,

所以有

取z=1,

得平面的一個法向量為.

設(shè)二面角的大小為

.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標,求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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【題目】已知函數(shù)

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(2)若在定義域上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;

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【題目】從1到9這9個數(shù)字中任取3個偶數(shù)和3個奇數(shù),組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),
(1)有多少個偶數(shù)?
(2)若奇數(shù)排在一起且偶數(shù)排在一起,這樣的六位數(shù)有多少個?
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【題目】函數(shù).

(1)當(dāng)時,求在區(qū)間上的最值;

(2)討論的單調(diào)性;

(3)當(dāng)時,有恒成立,求的取值范圍.

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【題目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗方案:方案甲:逐個化驗,直到能確定感染為止.方案乙:將6只分為兩組,每組三個,并將它們混合在一起化驗,若存在病毒,則表明感染在這三只當(dāng)中,然后逐個化驗,直到確定感染為止;若結(jié)果不含病毒,則在另外一組中逐個進行化驗.

(1)求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率.

(2)首次化驗化驗費為10元,第二次化驗化驗費為8元,第三次及其以后每次化驗費都是6元,列出方案甲所需化驗費用的分布列,并估計用方案甲平均需要體驗費多少元?

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【題目】已知函數(shù) (x∈R).
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(2)①判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;②用定義判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)解不等式f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0.

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【題目】2017年《詩詞大會》火爆熒屏,某校為此舉辦了一場主題為“愛詩詞、愛祖國”的詩詞知識競賽,從參賽的全體學(xué)生中抽出60人的成績(滿分100分)作為樣本.對這60名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,并按 , 分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表,估計參加這次知識競賽的學(xué)生的平均成績;

(Ⅱ)估計參加這次知識競賽的學(xué)生成績的中位數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù));

(Ⅲ)若規(guī)定80分以上(含80分)為優(yōu)秀,用頻率估計概率,從全體參賽學(xué)生中隨機抽取3名,記其中成績優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列與期望.

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