Question

已知函數(shù)，，其中.
(1)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；
(2)若對任意的(為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)；(2)．

試題分析：（1）利用函數(shù)極值點的導數(shù)等于0，且此點的左側(cè)和右側(cè)導數(shù)的符號相反，求得實數(shù)的值；（2）問題等價于對任意的時，都有，分類討論，利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最小值及的最大值，根據(jù)它們之間的關(guān)系求出實數(shù)的取值范圍．
試題解析：(1)∵，其定義域為，∴．
∵是函數(shù)的極值點，∴，即.
∵，∴．
經(jīng)檢驗當時，是函數(shù)的極值點，∴．
(2)對任意的都有成立等價于對任意的，都有．
當時，．
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴.
∵，且，．
①當且時，，
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴．
由，得a≥，
又，∴不合題意．
②當時，
若，則，
若，則．
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
∴.
由，得．又，∴．
③當且時，，
函數(shù)在上是減函數(shù)．
∴.
由，得．又，∴.
綜上所述，的取值范圍為．