【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線平面，，，，點(diǎn)在棱上.

（1）求證：；

（2）若是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2） (3)

【解析】試題分析：（1）由平面，得；再由， 得， 平面.（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，由，，利用夾角公式可求異面直線與所成角的余弦值.（3）由得.再求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值為.

試題解析：

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，所以，又，所以平面，又平面，故.

（2）因?yàn)?/span>，所以，又由（1）得，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

所以，，所以，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

（3）因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量，由知為的三等分點(diǎn)且此時(shí).在平面中，，，所以平面的一個(gè)法向量.

所以，又因?yàn)槎娼?/span>的大小為銳角，所以該二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知定圓，定直線，過的一條動(dòng)直線與直線相交于，與圓相交于，兩點(diǎn)，

（1）當(dāng)與垂直時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明:過圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．

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【題目】為了解防震知識(shí)在中學(xué)生中的普及情況，某地震部門命制了一份滿分為10分的問卷到紅星中學(xué)做問卷調(diào)查．該校甲、乙兩個(gè)班各被隨機(jī)抽取名學(xué)生接受問卷調(diào)查，甲班名學(xué)生得分為5，8，9，9，9乙班5名學(xué)生得分為6，7，8，9，10．

（Ⅰ）請你估計(jì)甲乙兩個(gè)班中，哪個(gè)班的問卷得分更穩(wěn)定一些；

（Ⅱ）如果把乙班5名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體，并用簡單隨機(jī)抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本，求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不小于1的概率．

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【題目】如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別在棱上（均異于端點(diǎn)），且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證： 平面.

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【題目】如圖，某小區(qū)擬在空地上建一個(gè)占地面積為2400平方米的矩形休閑廣場，按照設(shè)計(jì)要求，休閑廣場中間有兩個(gè)完全相同的矩形綠化區(qū)域，周邊及綠化區(qū)域之間是道路（圖中陰影部分），道路的寬度均為2米．怎樣設(shè)計(jì)矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區(qū)域的總面積最大？并求出其最大面積.

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【題目】已知函數(shù)，且.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖所示，已知圓的圓心在直線上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，又圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．

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【題目】如圖，已知橢圓：的離心率，過點(diǎn)，的直線與原點(diǎn)的距離為，是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若記直線，的斜率分別為，，試求的值.

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）用反證法證明：在上，不存在不同的兩點(diǎn)，，使得的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互平行．

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