Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) 減函數(shù)，證明見解析；(3) ．

【解析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)令，求解即可．

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為代數(shù)形式的不等式，求解即可．

（1）∵在定義域上是奇函數(shù)，

所以，即，∴，

經(jīng)檢驗，當時，原函數(shù)是奇函數(shù)．

（2）在上是減函數(shù)，證明如下：

由（1）知，

任取，設(shè)，

則，

∵函數(shù)在上是增函數(shù)，且，

∴，又，

∴，即，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

（3）因是奇函數(shù)，從而不等式等價于，

由（2）知在上是減函數(shù)，由上式推得，

即對任意，有恒成立，

由，

令，，則可設(shè)，，

∴，

∴，即的取值范圍為．