Question

17．設函數g（x）=x²-2x+1+mlnx，（m∈R）．
（1）當m=1時，求函數y=g（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）當m=-12時，求f（x）的極小值；
（3）若函數y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上的兩個不同的數a，b（a＜b）處取得極值，記{x}表示大于x的最小整數，求{g（a）}-{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

Answer 1

分析 （1）把m=1代入函數解析式，求得導函數，得到切線的斜率，則切線方程可求；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極小值即可；
（3）根據函數的單調性得到函數y=g（x）在x∈（$\frac{1}{4}$，+∞）上有兩個極值點的m的范圍，由a，b為方程2x²-2x+m=0的兩相異正根，及根與系數關系，得到a，b的范圍，把m用a（或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求導得到g（b）的取值范圍，進一步求得{g（a）}（或{g（b）}），則答案可求．

解答 解：（1）函數y=g（x）=x²-2x+1+mlnx，g′（x）=2x-2+$\frac{1}{x}$，k=g′（1）=1，
則切線方程為y=x-1，
故所求切線方程為x-y-1=0；
（2）m=-12時，g（x）=）=x²-2x+1-12lnx，（x＞0），
g′（x）=2x-2-$\frac{12}{x}$=$\frac{2（x-3）（x+2）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，
故g（x）在（0，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故g（x）_極小值=g（3）=4-12ln3；
（3）函數y=g（x）的定義域為（0，+∞），
g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+m}{x}$，
令g′（x）=0并結合定義域得2x²-2x+m＞0．
①當△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$時，g′（x）≥0，則函數g（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
②當△＞0且m＞0，即0＜m＜$\frac{1}{2}$時，函數g（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$），（ $\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
③當△＞0且m≤0，即m≤0時，函數g（x）的增區(qū)間為（ $\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
故得0＜m＜$\frac{1}{2}$時，a，b為方程2x²-2x+m=0的兩相異正根，$\frac{1}{2}$＜b＜$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
又由2b²-2b+m=0，得m=-2b²+2b，
∴g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb，b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-$\frac{1}{2}$）lnb，
當b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）時，g′（b）＞0，即函數g（b）是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）上的增函數．
故g（b）的取值范圍是（ $\frac{1-2ln2}{4}$，$\frac{1-6ln\frac{4}{3}}{16}$），則{g（b）}=0．
同理可求得g（a）的取值范圍是（ $\frac{1-2ln2}{4}$，$\frac{9-12ln2}{16}$），則{g（a）}=0或{g（a）}=1．
∴{g（a）}-{g（b）}=0或1．

點評 本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了方程根個數的判斷，體現了數學轉化思想方法，考查了計算能力，是壓軸題．