Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7份，請考生任選2題作答，滿分14分.
如果多做，則按所做的前兩題計分.
選修4系列（本小題滿分14分）
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
設是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換．
（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．
(2)（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程，曲線C的參數方程為為參數），求曲線C截直線l所得的弦長
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選講
已知，且、、是正數，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）由條件得矩陣，
它的特征值為和，對應的特征向量為及；……………………3分
（Ⅱ），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．…………7分
(2)解：由可化為直角坐標方程      （1）  ……2分
參數方程為為參數）可化為直角坐標方程     (2)   ……4分
聯立（1）（2）得兩曲線的交點為       ……………………6分
所求的弦長.       ………………7分
（3）證明：左邊=           ………………2分
   …………6分
.                        ………………7分