已知函數(shù)( 是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)已知且,試解關于的不等式 ;
(Ⅲ)已知且.若存在實數(shù),使得對任意的,都有,試求的最大值.
(1)
(2)當時,不等式的解為;當時,不等式的解為
(3)3
【解析】
試題分析:解:(Ⅰ)因為,所以,故,
因為函數(shù)的最小值為,所以. 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.
當時,, 5分
故不等式可化為:,
即, 6分
得,
所以,當時,不等式的解為;
當時,不等式的解為. 8分
(Ⅲ)∵當且時,,
∴.
∴原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù),使得不等式對任意恒成立. 10分
令.
∵,∴函數(shù)在為減函數(shù). 11分
又∵,∴. 12分
∴要使得對,值恒存在,只須. 13分
∵,
且函數(shù)在為減函數(shù),
∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3. 14分
考點:函數(shù)與不等式
點評:主要是考查了函數(shù)與不等式的綜合運用,以及導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的求解屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學 來源:甘肅省蘭州一中2010屆高三上學期期末考試數(shù)學(理)試題 題型:044
已知函數(shù)(e是自然對數(shù)的底),
(1)若函數(shù))f(x)是(-1,+∞)上的增函數(shù),求k的取值范圍;
(2)若對任意的x>0,都有f(x)<x+1,求滿足條件的最大整數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(…是自然對數(shù)的底數(shù))的最小值為.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)已知且,試解關于的不等式 ;
(Ⅲ)已知且.若存在實數(shù),使得對任意的,都有,試求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年甘肅省河西五市高三第二次聯(lián)合考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù),).
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明對一切恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年甘肅省高三第十次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù),).
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明對一切恒成立.
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