【題目】(本小題滿分13分)

如圖5,已知點(diǎn)是圓心為半徑為1的半圓弧上從點(diǎn)數(shù)起的第一個(gè)三等分點(diǎn),是直徑,,平面,點(diǎn)的中點(diǎn).

1)求二面角的余弦值.

2)求點(diǎn)到平面的距離.

【答案】(1)

(2)

【解析】

試題分析:想求二面角的余弦值,得需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,根據(jù)題中所給的條件,可以得出從一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)的三條互相垂直的直線,符合建立坐標(biāo)系的條件,求出相應(yīng)的面的法向量,從而得出二面角的余弦值,對(duì)于第二問(wèn),可以通過(guò)三棱錐的體積相等來(lái)處理,也可以通過(guò)某個(gè)向量在法向量上的投影的問(wèn)題來(lái)解決.

試題解析:

:(1是圓心為半徑為1的半圓弧上

從點(diǎn)數(shù)起的第一個(gè)三等分點(diǎn),∴∠AOC=60,

是等邊三角形,

. (1分)

C是圓周上的點(diǎn),AB是直徑,, (2分)

平面,兩兩垂直. 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸的正向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,, (3分)

于是,,. (4分)

設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量,

,,取. (5分)

,,

. (6分)

, 7分)

因此,二面角的余弦值是. (8分)

2)方法一:由(1)知 9分)

設(shè)為平面的法向量,則

,即,取. (10分)

設(shè)向量所成的角為,則(12分)

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則. (13分)

方法二:由(1)知,

因?yàn)橹本平面,所以,,

于是,,

.

因?yàn)?/span>,點(diǎn)的中點(diǎn),所以. 9分)

因此,, (10分)

從而,, (11分)

. (12分)

因?yàn)椋?/span>,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則有,即,于是,. (13分)

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