Question

已知數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且對(duì)任意m，n∈N^*有a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1．
又知a₂=0，a₃＞0，a₉₉=33．則a₃=

 

，a₁₀=

 

．

Answer 1

分析：本題的題意不是求通項(xiàng)公式，a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1這類遞推式子較少見(jiàn)到，理解不到位很容易出現(xiàn)偏差，本題應(yīng)當(dāng)求出a₁的值，再利用a₃=a₁+a₂求出a₃，對(duì)a₁₀的求解需要確定范圍，才能進(jìn)一步求出．

解答：解：（1）由已知：a₂=a₁+a₁=0或a₂=a₁+a₁+1=0，所以2a₁=0或2a₁=0-1=-1，又因?yàn)閍_n≥0，所以a₁=0；
所以a₃=a₁+a₂=0或a₃=a₁+a₂+1=1，由已知a₃＞0，所以a₃=1
（2）由（1）及已知a_m+n-a_m-a_n=0或a_m+n-a_m-a_n=1，a₁=a₂=0，a₃=1可知對(duì)任意n∈N^*，a_n∈Z，a_m+n=a_m+a_n或a_m+n=a_m+a_n+1，反復(fù)利用上式可得33=a₉₉≥a₈₉+a₁₀≥a₇₉+2a₁₀≥…≥9a₁₀+3a₃=9a₁₀+3，所以a10≤

30

9

，同理可得33=a₉₉≤9a₁₀+3a₃+11
所以a10≥

19

9

，即有

19

9

≤a10≤

30

9

，又因?yàn)閍_n∈Z，所以a₁₀=3．

點(diǎn)評(píng)：這是一道稍有難度的遞推數(shù)列題目，難在打破常規(guī)，并非是由遞推公式求通項(xiàng)公式，而是求某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)的值，這樣對(duì)問(wèn)題的分析思路有所變化，處理上有一定的技巧因此增加了難度；又有分類討論思想，函數(shù)，不等式左右?jiàn)A逼思想的應(yīng)用，因此綜合性較強(qiáng)．