Question

已知點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，
（1）若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程
（2）若點(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），用坐標(biāo)表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求出圓心坐標(biāo)，圓的半徑，結(jié)合題意，利用圓的到直線的距離，半徑，|QM|滿足勾股定理，求出|QM|就是最小值．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵兩定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．
（2）∵（x-5）²+y²=16的圓心坐標(biāo)為M′（5，0），半徑為4，則圓心M′到直線l₁的距離為：

|5+3|

2

=4

2

，
∵點(diǎn)Q在直線l₁：x+y+3=0上，過點(diǎn)Q的直線l₂與曲線C（x-5）²+y²=16只有一個(gè)公共點(diǎn)M，
∴|QM|的最小值為：

(4 2 )2-42

=4．

點(diǎn)評(píng)：考查兩點(diǎn)間距離公式及圓的性質(zhì)，著重考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．