Question

等比數(shù)列{a_n}的公比為q，第8項(xiàng)是第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的等差中項(xiàng)．
（1）求公比q；
（2）若{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，判斷S₃，S₉，S₆是否成等差數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題已知等比數(shù)列的公比為q，第8項(xiàng)是第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的等差中項(xiàng)，故直接建立起關(guān)于公比的方程，通過解方程求公比即可．
（2）用首項(xiàng)與公比表示出S₃，S₉，S₆，直接驗(yàn)證三者是否符合等差數(shù)列的性質(zhì)即可．

解答：解：（1）由題可知，2a₈=a₂+a₅，
即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
由于a₁q≠0，化簡(jiǎn)得2q⁶=1+q³，即2q⁶-q³-1=0，
解得q³=1或q3=-

1

2

．所以q=1或q=-

3 4

2

．
（2）當(dāng)q=1時(shí)，不能構(gòu)成等差數(shù)列，當(dāng)當(dāng)q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

時(shí)，三都可以構(gòu)成等差數(shù)列，證明如下：
當(dāng)q=1時(shí)，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁．
易知S₃，S₉，S₆不能構(gòu)成等差數(shù)列．
當(dāng)q=-

3 4

2

即q3=-

1

2

時(shí)，S3=

a1(1-q3)

1-q

=

a1

1-q

(1+

1

2

)=

3

2

•

a1

1-q

，S9=

a1(1-q9)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)3]=

9

8

•

a1

1-q

，
S6=

a1(1-q6)

1-q

=

a1

1-q

[1-(-

1

2

)2]=

3

4

•

a1

1-q

．
驗(yàn)證知S₃+S₆=2S₉，所以S₃，S₉，S₆能構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及其前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于數(shù)列知識(shí)基本運(yùn)用題，基礎(chǔ)題型，解答本題要注意式的靈活變形尤其是因式分解的技巧．