Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aex（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲線c1：y=f（x）與曲線c2：y=g（x）存在公切線，求a最大值．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)公切線l與c1切于點(diǎn)（x1 ， a ）與c2切于點(diǎn)（x2 ， ）， ∵f′（x）=aex ， g′（x）=2x，
∴ ，由①知x2≠0，
①代入②得： =2x2 ， 即x2=2x1﹣2，
由①知a= ，
設(shè)g（x）= ，g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x=2；當(dāng)x＜2時(shí)g′（x）＞0，g（x）遞增．
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
∴x=2時(shí)，g（x）max=g（2）= ，∴amax= ．
（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=ex﹣bx2﹣cx﹣1，
∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)，
∴F（x）在（0，2）至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，
即F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
∵F″（x）=ex﹣2b，F(xiàn)（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c= ，
①當(dāng)b≤ 時(shí)，在（0，2）上，ex＞e0=1≥2b，F(xiàn)″（x）＞0，
∴F″（x）在（0，2）上單調(diào)增，F(xiàn)′（x）沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)b≥ 時(shí)，在（0，2）上，ex＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，2）上單調(diào)減，F(xiàn)′（x）沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng) ＜b＜ 時(shí)，令F″（x）=0，得x=ln2b，
因當(dāng)x＞ln2b時(shí)，F(xiàn)″（x）＞0，x＜ln2b時(shí)，F(xiàn)″（x）＜0，
∴F″（x）在（0，ln2b）遞減，（ln2b，2）遞增，
所以x=ln2b時(shí)，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
設(shè)G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣ + ，
令G′（b）=2﹣2ln2b=0，
得2b=e，即b= ，當(dāng)b＜ 時(shí)G′（b）＞0；當(dāng)b＞ 時(shí)，G′（b）＜0，
當(dāng)b= 時(shí)，G（b）最大=G（ ）=e+ ﹣ ＜0，
∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，
因F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴ ，
解得： ＜b＜ ，
綜上所述，b的取值范圍（ ， ）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x2=2x1﹣2，由a= ，設(shè)g（x）= ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最大值即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F′（x）=ex﹣2bx﹣c在（0，2）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定b的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．