Question

如圖,在長方體,中,,點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明:;

（Ⅱ）當為的中點時,求點到面的距離;

（Ⅲ）等于何值時,二面角的大小為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）建立空間坐標,分別求出的坐標,利用數(shù)量積等于零即可；（Ⅱ）當為的中點時,求點到平面的距離,只需找平面的一條過點的斜線段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）設,因為平面的一個法向量為,只需求出平面的法向量,然后利用二面角為,根據(jù)夾角公式,求出即可.

試題解析：以為坐標原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系,設,則,

（Ⅰ）,,故 ；

（Ⅱ）因為為的中點,則,從而, ,設平面的法向量為,則 也即,得,從而,所以點到平面的距離為 ；

（Ⅲ）設平面的法向量, 而, 由,即,得,依題意得: , ,解得 (不合,舍去),      ∴時,二面角的大小為.

考點：空間向量在立體幾何中應用.