Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿(mǎn)足a1=3，Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{bn}中，b1=9，bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），若不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對(duì)一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）令Tn= + + +…+ （n∈N*），證明：對(duì)于任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

兩式相減得an+1=3an

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，當(dāng)n≥2時(shí)， ．

當(dāng)n=1時(shí)，a1=3也符合，∴ ．

（Ⅱ）將 ，代入bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），

得 ，

∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1

=4（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+9+9

=23n+3，（n∈N+）

∴不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對(duì)一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，則f（n+1）= ，

∴當(dāng)n≤4時(shí)，f（n）單調(diào)遞增，當(dāng)n≥5時(shí)，f（n）單調(diào)遞減，

故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6＞a7…

∴ ，故

∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（ ，+∞）．

（Ⅲ）證明：當(dāng)n=1時(shí)，T1=

當(dāng)n≥2時(shí)，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

∴

∴

=

=

故對(duì)于任意的n∈N*，Tn＜

【解析】（Ⅰ）由Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

兩式相減得an+1=3an，得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可．（Ⅱ）可得 ，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=23n+3，（n∈N+）

不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對(duì)一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，利用單調(diào)性實(shí)數(shù)λ的取值范圍．（Ⅲ）當(dāng)n≥2時(shí)，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

即 =

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．