如圖所示，側(cè)棱長為2
3
的正三棱錐V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°，過A作截面AEF，則截面三角形AEF周長的最小值是
2
6
2
6
．
分析：根據(jù)題意，將正三棱錐V-ABC沿著側(cè)棱VA展開在同一個平面內(nèi)，如圖所示，可得圖中的AA'長即為截面△AEF周長的最小值，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)利用勾股定理即可算出這個最小值．
解答：解：如圖所示，沿著側(cè)棱VA把正三棱錐V-ABC展開在同一個平面內(nèi)，
可得圖中的AA'的長即為截面△AEF周長的最小值，
∵∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°，
∴∠AVA′=3×30=90°．
Rt△VAA′中，由勾股定理可得
AA'=
VA2+VA′2
=
(2
3
)2+(2
3
)2
=2
6
，
故答案為：2
6
點(diǎn)評：本題給出正三棱錐，求截面三角形AEF周長的最小值．著重考查了正三棱錐的性質(zhì)、錐體的平面展開圖和勾股定理等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為,若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面一邊A1C1于點(diǎn)D.

(1)確定點(diǎn)D的位置,并證明你的結(jié)論;

(2)求二面角A1 –AB-1D的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的一組圖形為某一四棱錐S—ABCD的側(cè)面與底面，

(1)指出各側(cè)棱長；

（2）在（1）的條件下，過A且垂直于SC的平面分別交于SB、SC、SD于E、F、G.

求（1）（2）的條件下，求二面角A—SC—B的大小.

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(1)證明：B1C1⊥CE；

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為.求線段AM的長．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海市模擬題 題型：解答題

如圖所示, 直四棱柱的側(cè)棱長為, 底面是邊長, 的矩形,為的中點(diǎn),
(1)求證: 平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC的中點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明:AD⊥平面PBC.

(2)求三棱錐D-ABC的體積.

(3)在∠ACB的平分線上確定一點(diǎn)Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時PQ的長.

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