【題目】如圖所示,Rt△AOB的直角邊OA在x軸上,OA=2,AB=1,將Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,拋物線經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)連接BD,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),直線OP把BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CD=AB=1,OA=OC=2,從而得到點(diǎn)B,D的坐標(biāo),代入解析式即可得出答案;

(2)由直線OP的周長(zhǎng)分成相等的兩部分,且OB=OD,DQ=BQ,即點(diǎn)QBD的中點(diǎn),從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),求得直線OP解析式,代入拋物線解析式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)∵Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD,

∴CD=AB=1,OA=OC=2,則點(diǎn)B(2,1),D(﹣1,2),代入解析式,

,解得,

二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+.

(2)如圖

∵OA=2,AB=1,∴B(2,1).

直線OP把BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分,且OB=OD,

DQ=BQ,即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn),D(﹣1,2),

點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,).

設(shè)直線OP解析式為y=kx,

將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入,得k=,解得k=3,

直線OP的解析式為y=3x,

代入y=﹣x2+x+,得﹣x2+x+=3x,

解得x=1或x=﹣4.

當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=﹣4時(shí),y=﹣12.

點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,3)或(﹣4,﹣12).

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(2) 若a是從集合A={x|0≤x≤3}中任取一個(gè)元素,b是從集合B={x|0≤x≤2}中任取一個(gè)元素,求上述方程有實(shí)根的概率.

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A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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