Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A（0，b），原點(diǎn)O到直線(xiàn)FA的距離為

2

2

b．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)l：2x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在圓O：x²+y²=4上，求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)F（-ae，0），點(diǎn)A（0，b）及b=

1-e2

a得直線(xiàn)FA的方程為

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，由原點(diǎn)O到直線(xiàn)FA的距離為

2

2

b=a

1-e2 2

，知

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F(-

2

2

a，0)關(guān)于直線(xiàn)l：2x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（x₀，y₀），則有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

，由此入手能夠推導(dǎo)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由點(diǎn)F（-ae，0），點(diǎn)A（0，b）及b=

1-e2

a得直線(xiàn)FA的方程為

x

-ae

+

y

1-e2 a

=1，即

1-e2

x-ey+ae

1-e2

=0，（2分）
∵原點(diǎn)O到直線(xiàn)FA的距離為

2

2

b=a

1-e2 2

，
∴

ae 1-e2

1-e2+e2

=a

1-e2 2

，e=

2

2

．（5分）
故橢圓C的離心率e=

2

2

．（7分）
（2）解：設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F(-

2

2

a，0)關(guān)于直線(xiàn)l：2x+y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（x₀，y₀），則有

y0 x0+ 2 2 a = 1 2 2• x0- 2 2 a 2 + y0 2 =0.

（10分）
解之，得x0=

3 2

10

a，y0=

4 2

10

a．∵P在圓x²+y²=4上
∴(

3 2

10

a)2+(

4 2

10

a)2=4，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

6

5

，

8

5

)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法、求解橢圓方程的方法和點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．