Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）設(shè)z，(

.

z

)2，z-z²在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積；
（3）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且復(fù)數(shù)m滿足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的式子，根據(jù)所給的模長(zhǎng)和z²的虛部為2．得到關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的方程組，解方程組即可．
（2）寫(xiě)出所給的三個(gè)復(fù)數(shù)的表示式，根據(jù)代數(shù)形式的表示式寫(xiě)出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三角形的面積．
（3）根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，得到復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)的值，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，看出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一個(gè)圓上，根據(jù)圓的性質(zhì)求出最值．

解答：解：（1）設(shè)Z=x+yi（x，y∈R）
由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y將其代入（2）得2x²=2，
∴x=±1
故

x=1 y=1

 或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）當(dāng)Z=1+i時(shí)，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
當(dāng)Z=-1-i時(shí)，(

.

z

)2=-2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×2=1．
（3）由題知，z=1+i
設(shè)m=c+di，則m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）²+（d-1）²=1
則復(fù)數(shù)m在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M的軌跡為（1，1）為圓心，1為半徑的圓
所以|m|min=

2

-1，|m|max=

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)形式和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和復(fù)數(shù)的幾何意義兩者熟練應(yīng)用，在利用幾何意義求最值時(shí)，注意這是圓常用的一種方法．