精英家教網(wǎng)如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點(diǎn)O處,有一個(gè)可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為
π
4
,設(shè)∠AOE=α,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.
(1)當(dāng)0≤α<
π
2
時(shí),寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且∠AOG=
π
6
,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中,被照到的時(shí)間.
分析:(1)根據(jù)題意過點(diǎn)O作OH⊥BC于H.再討論α的范圍,可得當(dāng)0≤α≤
π
4
時(shí),E在邊AB上,F(xiàn)在線段BH上,因此S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF;當(dāng)
π
4
<α<
π
2
時(shí),E在線段BH上,F(xiàn)在線段CH上,因此S=S△OEF.由此即可得到當(dāng)0≤α<
π
2
時(shí)S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求出在“一個(gè)來回”中OE共轉(zhuǎn)動的角度,并求出其中點(diǎn)G被照到時(shí)共轉(zhuǎn)的角度,結(jié)合題意列式即可求出“一個(gè)來回”中點(diǎn)G被照到的時(shí)間.
解答:解:(1)過O作OH⊥BC,H為垂足.精英家教網(wǎng)
①當(dāng)0≤α≤
π
4
時(shí),E在邊AB上,F(xiàn)在線段BH上(如圖①),
此時(shí),AE=tanα,F(xiàn)H=tan(
π
4
-α),
∴S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF=1-
1
2
tanα-
1
2
tan(
π
4
-α).   
②當(dāng)
π
4
<α<
π
2
時(shí),
E在線段BH上,F(xiàn)在線段CH上(如圖②),
此時(shí),EH=
1
tanα
,F(xiàn)H=
1
tan(
4
-α)
,可得EF=
1
tanα
+
1
tan(
4
-α)

∴S=S△OEF=
1
2
1
tanα
+
1
tan(
4
-α)
).
綜上所述,S=
1-
1
2
tanα-
1
2
tan(
π
4
-α)   (0≤α≤
π
4
)
1
2
(
1
tanα
+
1
tan(
4
-α)
)      (
π
4
<α<
π
2
)

(2)在“一個(gè)來回”中,OE共轉(zhuǎn)了2×
4
=
2

其中點(diǎn)G被照到時(shí),共轉(zhuǎn)了2×
π
6
=
π
3
 
∴在“一個(gè)來回”中,點(diǎn)G被照到的時(shí)間為9×
π
3
2
=2(分鐘).
點(diǎn)評:本題以探照燈在矩形區(qū)域內(nèi)照射為例,求陰影部分面積關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系式,并求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中,被照到的時(shí)間,著重考查了三角函數(shù)的定義、解三角形在實(shí)際問題中和函數(shù)關(guān)系式的建立等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江蘇二模)如圖是一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點(diǎn)O處,有一個(gè)可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為
π
4
,設(shè)∠AOE=α(0≤α≤
4
),探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.
(1)當(dāng)0≤α<
π
2
時(shí),寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)0≤α≤
π
4
時(shí),求S的最大值.
(3)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且∠AOG=
π
6
,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中,被照到的時(shí)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆遼寧省莊河六高高一第二學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題(理 題型:填空題

從如圖的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為 _____

 

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從如圖的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為 _____

 

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從如圖的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為 _____

 

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