Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx+2（a，b，c∈R）且（a≠0）在區(qū)間（-∞，0）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令f'（0）=0即可得到答案．
（2）將b的值代入函數(shù)f（x）后再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的增減性的關(guān)系即可得到答案．

解答：解：（I）∵f'（x）=3ax²-2x+b，
又f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，
∴f'（0）=0，∴b=0．
（II）∵f（x）=ax³-x²+c，
得f'（x）=3ax²-2x，
由f'（x）=3ax²-2x=0，得x1=0，x2=

2

3a

.
∵f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，
則有a＞0，且

2

3a

≥4.∴0＜a≤

1

6

.

點(diǎn)評：本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況判斷原函數(shù)的單調(diào)性的問題．即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．