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已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形。

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值?若存在，求出的坐標及定值；若不存在，請說明理由。

(Ⅰ) 橢圓的方程為

(Ⅱ) 當時，為定值


解析:

(Ⅰ)由題意知拋物線的焦點

……………………………………………………………………………1分

 又橢圓的短軸的兩個端點與構成正三角形

 

 橢圓的方程為……………………………………………………3分

 (Ⅱ)當直線的斜率存在時，設其斜率為，則的方程為：

 

 

 

 ………………………………………5分

 則

        

         

         

         ……………………………………7分

        

         ……………………………………9分

當 即時為定值…………………………10分

當直線的斜率不存在時，

由可得

綜上所述當時，為定值………

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省溫州市高三第一次適應性測試文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，則該橢圓的離心率為（    ）

A．              B．             C．             D．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省高三上學期第三次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，P為橢圓與拋物線的一個公共點，且|PF|=2，傾斜角為的直線過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關于直線對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2013屆廣東省高二第二學期期中文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

．（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為的直線過點.

   （Ⅰ）求該橢圓的方程；

   （Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為，試求拋物線上一點，使得與關于直線對稱，求出點的坐標.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年云南省高三1月月考數學理卷 題型：解答題

（（本小題滿分12分）

已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形.

   （Ⅰ）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值? 若存在，求出的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2010年江西省高二上學期期中考試理科數學卷 題型：選擇題

已知橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，則此橢圓的離心率為

（     ）

A.               B.                C.               D.2

 

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