Question

設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意的，都有為常數(shù)，且.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項和.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）用公式將化簡可得間的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得數(shù)列是等比數(shù)列。（2）屬構(gòu)造法求數(shù)列通項公式：因為，所以，將其取倒數(shù)可推導(dǎo)出，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知為等差數(shù)列，先求的通項公式，再求。（3）因為得通項公式為等差乘以等比數(shù)列所以應(yīng)用錯位相減法求數(shù)列的前項和。將表示為各項的和，然后將上式兩邊同時乘以通項公式里邊等比數(shù)列的公比，但應(yīng)將第一位空出，然后兩式相減即可。

試題解析：（1）證明：當(dāng)時，，解得． 1分

當(dāng)時，．即 2分

∵為常數(shù)，且， ∴． 3分

∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2）【解析】
由（1）得，，．

∵， ∴，即． 7分

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列． 8分

∴，即（）． 9分

（3）【解析】
由（2）知，則． 10分

所以，

即， ①

則 ②

②－①得，

． 14分

考點：1等比數(shù)列的定義；2等差數(shù)列的定義及通項公式；3錯位相減法求數(shù)列的和。