甲乙兩人輪流拋擲一枚正方體骰子(6個面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6)各一次,將向上面上的點數(shù)分別記為a,b,點數(shù)差記為ξ=|a-b|
(1)游戲約定:若ξ≤2,則甲獲勝;否則乙獲勝.這樣的約定是否公平,為什么?
(2)求關(guān)于x的方程kx2-ξx-1=0(k∈N*)在(2,3)上有且僅有一個根的概率.
分析:(1)由已知中正方體骰子6個面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6,可得數(shù)差ξ=|a-b|∈{0,1,2,3,4,5},列舉出所有的情況后,計算ξ≤2的個數(shù),即可得到答案.
(2)若方程kx2-ξx-1=0(k∈N*)在(2,3)上有且僅有一個根,則函數(shù)f(x)=kx2-ξx-1在區(qū)間(2,3)上有且只有一個零點,即f(2)•f(3)<0,構(gòu)造不等式后,解不等式即可得到答案.
解答:解:(1)不公平.
由題知,
a、b∈{1,2,3,4,5,6},ξ∈{0,1,2,3,4,5}
ξ=0,(a,b)可能是(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)有6種可能
ξ=1,(a,b)可能是(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5)
(5,4),(5,6),(6,5)有10種可能
ξ=2,(a,b)可能是(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6)(6,4)有8種可能
ξ=3,(a,b)可能是(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)有6種可能
ξ=4,(a,b)可能是(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)有4種可能
ξ=0,(a,b)可能是(1,6),(6,1)有2種可能
基本事件總數(shù)36種
P(ξ≤2)=
6+10+8
36
=
2
3
由于P(ξ≤2)>
1
2
故不公平

(2)
記f(x)=kx2-ξx-1
<1>當(dāng)f(2)=0時,ξ=2k-
1
2
,舍去.
<2>當(dāng)f(3)=0時,ξ=3k-
1
3
,舍去.
<3>當(dāng)f(2)f(3)<0時,(4k-1-2ξ)(9k-1-3ξ)<0,(k∈N*)
2k-
1
2
<ξ<3k-
1
3
,
當(dāng)k=1時,
3
2
<ξ<
8
3
,ξ=2,
P(ξ=2)=
8
36
=
2
9
當(dāng)k=2時,
7
2
<ξ<
17
3
,ξ=4,5
P(ξ≥3)=
4+2
36
=
1
6
當(dāng)k≥3時,ξ>
11
2
,不可能.
綜上所述,當(dāng)k=1時,所求概率為
2
9
,當(dāng)k=2時,所求概率為
1
6
,當(dāng)k≥3時,
所求概率為0.
點評:本題考查的知識點是列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,其中(2)中關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題.
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