設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值;
(2)令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實數(shù)解,求正數(shù)的值.
(1)函數(shù)的最大值為;(2)實數(shù)的取值范圍是;(3).
解析試題分析:(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值;(2)先求出函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立的問題來處理,利用二次函數(shù)的最值的求法求的最大值,從而得到實數(shù)的取值范圍;(3)將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域上只有一個零點(diǎn)來處理,結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性,利用極值與最值的關(guān)系求出正數(shù)的值.
試題解析:(1)依題意,知的定義域為,
當(dāng)時,, 2分
令,解得
因為有唯一解,所以,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增;
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減。
所以的極大值為,此即為最大值 4分
(2),則有在上恒成立,
∴≥,
當(dāng)時,取得最大值,所以≥ 8分
(3)因為方程有唯一實數(shù)解,所以有唯一實數(shù)解,
設(shè),則令,
因為所以(舍去),,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,取最小值. 10分
則 即
所以因為所以 12分
設(shè)函數(shù),因為當(dāng)時,是增函數(shù),所以至多有一解.
∵,∴方程(*)的解為,即,解得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),其中,.
(Ⅰ) 求的取值范圍;
(Ⅱ) 若,求的最大值(e是自然對數(shù)的底數(shù)).
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(1設(shè)
(1)當(dāng)時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)的零點(diǎn)個數(shù)
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已知函數(shù)f(x)=alnx+(a≠0)在(0,)內(nèi)有極值.
(I)求實數(shù)a的取值范圍;
(II)若x1∈(0,),x2∈(2,+∞)且a∈[,2]時,求證:f(x1)﹣f(x2)≥ln2+.
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已知函數(shù),其中,為參數(shù),且.
(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)是否有極值;
(2)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.
⑴求函數(shù)的解析式;
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有,求實數(shù)的最小值;
⑶若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.
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已知,其中為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時,求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)在上既有極大值又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求這些切線的方程.
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設(shè)函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II) 若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且在區(qū)間上的最大值為,求的值;
(3)當(dāng)時,試證明:.
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