Question

【題目】已知，，其中．

（1）若，令函數(shù)，解不等式；

（2）若，，求的值域；

（3）設(shè)函數(shù)，若對于任意大于等于2的實數(shù)，總存在唯一的小于2的實數(shù)，使得成立，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，值域為，當時，值域為；（3）

【解析】

（1）先由導(dǎo)函數(shù)得出在上的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性解函數(shù)不等式即可；（2）先求出的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得值域；（3）首先對進行分類討論，接下來研究函數(shù)的單調(diào)性，再由“總存在唯一的小于2的實數(shù)，使得成立”分別求出兩函數(shù)的值域，使得的值域為的值域的子集，建立不等關(guān)系，解之即可．

（1）∵，時，

，

則且，，

∴，∴函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，

又，，

∴，

整理得，解得或，

不等式的解集為.

（2）∵，，∴，

∴，所以的值域為.

（3）①若，由，，

，，

∴不成立，

②若，由時，，

∴在上單調(diào)遞減，

從而，即

（）若，由于時，，

∴在上單調(diào)遞增，

從而，即，

要使成立，只需，

即成立即可，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

∴

（）若，由于時，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

從而，即，

要使成立，只需成立，

即成立即可．

由，可得，故當時，

恒成立．

綜上所述：的取值范圍是．