【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R)恰有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 . (Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式lnx1+λlnx2>1+λ恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R), ∴f′(x)=alnx﹣2x,
依題意得x1 , x2是alnx﹣2x=0的兩個不等正實數(shù)根,
∴a≠0, ,
令g(x)= , ,
當x∈(0,e)時,g′(x)>0;當x∈(e,+∞)時,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,且g(1)=0,
當x>e時,g(x)>0,
∴0< <g(e)= ,
解得a>2e,故實數(shù)a的取值范圍是(2e,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2 ,
兩式相減,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2 ,
∴l(xiāng)nx1+λlnx2>1+λ,∴ >1+λ,∴2(x1+λx2)>a(1+λ),
∴x1+λx2> ,∴ >1+λ,
∴ >1+λ,
∵0<x1<x2 , 令t= ∈(0,1),∴ ,
∴(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,
令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),
則h′(t)=lnt+ ﹣λ,
令I(lǐng)(t)=lnt+ ﹣λ,則I′(t)= = ,(t∈(0,1)),
①當λ≥1時,I′(t)<0,∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,∴h′(t)>h′(1)=0,
∴h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴h(t)<h(1)=0,符合題意.
②當λ≤0時,I′(t)>0.∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h′(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,∴h(t)>h(1)=0,不符合題意
③當0<λ<1時,I′(t)>0,λ<t<1,∴h′(t)在(λ,1)上單調(diào)遞增,
∴h′(t)<h′(1)=0,
∴h(t)在(λ,1)上單調(diào)遞減,∴h(t)>h(1)=0,不符合題意.
綜上所述,實數(shù)λ的取值范圍是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)求出f′(x)=alnx﹣2x,a≠0, ,令g(x)= , ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍.(Ⅱ)由(Ⅰ)得alnx1=2x1 , alnx2=2x2 , 兩式相減,得a(lnx1﹣lnx2)=2(x1﹣x2),a=2 ,從而 >1+λ,令t= ∈(0,1),得(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1)<0,令h(t)=(t+λ)lnt﹣(1+λ)(t﹣1),則h′(t)=lnt+ ﹣λ,令I(lǐng)(t)=lnt+ ﹣λ,則I′(t)= = ,(t∈(0,1)),由此利用分類討論思想,結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)λ的取值范圍.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九十年代,政府間氣候變化專業(yè)委員會(IPCC)提供的一項報告指出:使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據(jù)測,1990年、1991年、1992年大氣中的CO2濃度分別比1989年增加了1個可比單位、3個可比單位、6個可比單位。若用函數(shù)模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)(其中a、b、c為常數(shù)).
(Ⅰ)寫出這兩個函數(shù)的解釋式;
(Ⅱ)若知1994年大氣中的CO2濃度比1989年增加了16個可比單位,請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)與1994年的實際數(shù)據(jù)更接近?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行了調(diào)查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量單位:噸,將數(shù)據(jù)按照,,分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)說明理由;
(2)估計居民月均用水量的中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,為等邊三角形, ,點為邊的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究型學(xué)習小組調(diào)查研究高中生使用智能手機對學(xué)習的影響,部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
使用智能手機 | 不使用智能手機 | 合計 | |
學(xué)習成績優(yōu)秀 | |||
學(xué)習成績不優(yōu)秀 | |||
合計 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),你是否有 的把握認為使用智能手機對學(xué)習有影響?
(2)為了進一步了解學(xué)生對智能手機的使用習慣,現(xiàn)在對以上使用智能手機的高中時采用分層抽樣的方式,抽取一個容量為 的樣本,若抽到的學(xué)生中成績不優(yōu)秀的比成績優(yōu)秀的多 人,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求實數(shù)a的值;
(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx﹣ (ω>0)圖象的兩條相鄰對稱軸為 .
(1)求函數(shù)y=f(x)的對稱軸方程;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣ 在(0,π)上的零點為x1 , x2 , 求cos(x1﹣x2)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),則下列說法不正確的是( )
A.其圖象開口向上,且始終與軸有兩個不同的交點
B.無論取何實數(shù),其圖象始終過定點
C.其圖象對稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會因的取值不同而改變
D.函數(shù)的最小值大于
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