如圖,寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連,設(shè)細(xì)桿AC的長(zhǎng)為l,∠ACD=α
(1)試用a,b,α表示l;
(2)當(dāng)b=a時(shí),求當(dāng)細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角時(shí)l的最大值;
(3)當(dāng)l=8a時(shí),問(wèn)細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角,則另一走廊寬b至少是多少?
分析:(1)由AB=
a
cosα
,BC=
b
sinα
,可表示出l,注意角α范圍;
(2)l=a(
1
cosα
+
1
sinα
)
=
a(sinα+cosα)
sinαcosα
,令t=sinα+cosα=
2
sin(α+
π
4
),則l=a•
t
t2-1
2
=
2at
t2-1
,t∈(1,
2
]
,利用導(dǎo)數(shù)可求得l的最小值,從而可得答案;
(3)由(1)可得:b=8asinα-a•
sinα
cosα
α∈(0,
π
2
)
,利用導(dǎo)數(shù)可求得b的最小值;
解答:(解:(1)AB=
a
cosα
,BC=
b
sinα

∴l(xiāng)=AB+BC=
a
cosα
+
b
sinα
,∴l(xiāng)=
a
cosα
+
b
sinα
α∈(0,
π
2
)

(2)l=a(
1
cosα
+
1
sinα
)
=
a(sinα+cosα)
sinαcosα
,
令t=sinα+cosα=
2
sin(α+
π
4
),
∵0<α<
π
2
,∴t∈(1,
2
]
,sinαcosα=
t2-1
2

∴l(xiāng)=a•
t
t2-1
2
=
2at
t2-1
,t∈(1,
2
]

l′=
-2a(1+t2)
(t2-1)2
<0,
∴l(xiāng)=
2at
t2-1
在t∈(1,
2
]
上是減函數(shù),且當(dāng)t大于1且無(wú)限趨近于1時(shí),l→+∞,∴l(xiāng)∈[4
2
,+∞),
∴細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角時(shí)l的最大值為4
2

(3)由(1)可得:b=8asinα-a•
sinα
cosα
α∈(0,
π
2
)
,
b′=8acosα-
a
cos2α
=
a(8cos3α-1)
cos2α
=
a(2cosα-1)(4cos2α+2cosα+1)
cos2α
,
令b′=0,則cosα=
1
2
,α=
π
3

當(dāng)0<α<
π
3
時(shí),b′<0;    當(dāng)
π
3
<α<
π
2
時(shí),b′>0,
∴當(dāng)α=
π
3
時(shí),bmin=3
3
a

∴另一走廊的寬至少為3
3
a.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查學(xué)生對(duì)題目的理解分析能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:044

寬為a m的走廊與另一個(gè)走廊垂直相連,(如圖)如果有一長(zhǎng)為8a m的細(xì)桿能水平地通過(guò)拐角,問(wèn)另一個(gè)走廊的寬至少是多少?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

寬為a m的走廊與另一個(gè)走廊垂直相連,(如圖)如果有一長(zhǎng)為8a m的細(xì)桿能水平地通過(guò)拐角,問(wèn)另一個(gè)走廊的寬至少是多少?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:學(xué)習(xí)周報(bào) 數(shù)學(xué) 人教課標(biāo)高二版(A選修1-1) 2009-2010學(xué)年 第25期 總第181期 人教課標(biāo)版(A選修1-1) 題型:044

如圖,寬為a的走廊(假設(shè)走廊足夠高)與另一走廊垂直相連,如果邊長(zhǎng)為8a的正方形木板能通過(guò)拐角,問(wèn):另一走廊的寬度至少是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2008-2009學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連,設(shè)細(xì)桿AC的長(zhǎng)為l,∠ACD=α
(1)試用a,b,α表示l;
(2)當(dāng)b=a時(shí),求當(dāng)細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角時(shí)l的最大值;
(3)當(dāng)l=8a時(shí),問(wèn)細(xì)桿AC能水平通過(guò)拐角,則另一走廊寬b至少是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案