Question

已知函數(shù)，.

（1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，且的范圍是．

【解析】

試題分析：（1）由于是多項式函數(shù)，故對最高次項系數(shù)分類，時它是一次函數(shù)，是增函數(shù)，不是減函數(shù)，當時，是二次函數(shù)，需要考慮對稱軸和開口方向；（2）首先把方程化簡，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042204372425113513/SYS201404220438403448862719_DA.files/image008.png">，設，即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，如本題中，通過分析導函數(shù)，知在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，因此條件為解這個不等式組即得所求的取值范圍．

試題解析：（1）當時，在是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；

當時，的對稱軸方程為，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意；

當時，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得．

綜上，的取值范圍是．  4分

（2）把方程整理為，

即為方程，  5分

設，原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根，即為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個零點．  6分

，

令，∵，解得或（舍），

當時，，是減函數(shù)，

當時，，是增函數(shù)．  10分

在內(nèi)有且只有兩個不相等的零點，只需  11分

即　∴

解得，所以的取值范圍是．

考點：（1）單調(diào)減函數(shù)的判定；（2）方程根的個數(shù)的判定．