Question

對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的兩個(gè)函數(shù)，若存在一次函數(shù)使得，對(duì)任意的，都有，則把函數(shù)的圖像叫函數(shù)的“分界線”。現(xiàn)已知（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

（1）求的遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在過點(diǎn)的“分界線”？若存在，求出函數(shù)的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）若遞增區(qū)間為，若遞增區(qū)間為，若，則遞增區(qū)間為若遞增區(qū)間為（2）存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點(diǎn)的“分界線”。

【解析】

試題分析：（1），

由得

①若，則，此時(shí)的遞增區(qū)間為；

②若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為；

③若，則的遞增區(qū)間為；

④若，則或，此時(shí)的遞增區(qū)間為。

（2）當(dāng)時(shí)，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)恒成立，

由得到對(duì)恒成立，

則，得，

下面證明對(duì)恒成立。

設(shè)，，，

且時(shí)，，，

時(shí)，，

所以，即對(duì)恒成立。

綜上，存在函數(shù)的圖像是函數(shù)過點(diǎn)的“分界線”。

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)區(qū)間及不等式恒成立

點(diǎn)評(píng)：第一小題求單調(diào)區(qū)間針對(duì)于不同的值對(duì)應(yīng)不同的極值點(diǎn)，因此需對(duì)值分情況討論以求單調(diào)性；第二問在正確理解給定信息的基礎(chǔ)上將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，可利用導(dǎo)數(shù)這一工具求解