【題目】如圖1,在△中,,分別為,的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,.將△沿折起到△的位置,使得平面平面,如圖2.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得直線和所成角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
圖1 圖2
【答案】(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).(Ⅲ).
【解析】試題分析:第一問根據(jù)等腰三角形的特征,可以得出,再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,可以得出平面,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可以得出以 ,之后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)果;第二問根據(jù)題中的條件,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求得結(jié)果;第三問關(guān)于是否存在類問題,都是假設(shè)其存在,結(jié)合向量所成角的余弦值求得結(jié)果.
(Ⅰ)因?yàn)樵凇?/span>中,,分別為,的中點(diǎn),
所以 ,.
所以,又為的中點(diǎn),
所以 .
因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面,
所以 平面,
所以 .
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接,所以.
由(Ⅰ)得,.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意得,,,,.
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,
則即
令,則,,所以.
設(shè)直線和平面所成的角為,
則.
所以 直線和平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)線段上存在點(diǎn)適合題意.
設(shè),其中.[10分]
設(shè),則有,
所以,從而,
所以,又,
所以.
令,
整理得.
解得,舍去.
所以 線段上存在點(diǎn)適合題意,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn).將沿折起到,使得平面平面(如圖).
圖1 圖2
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題的真假:
(1)是的必要條件;
(2)是的充要條件;
(3)兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等是這兩個(gè)三角形相似的充要條件;
(4)三角形的三條邊滿足勾股定理是這個(gè)三角形為直角三角形的充要條件;
(5)在中,重心和垂心重合是為等邊三角形的必要條件;
(6)如果點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,,
(I)求,,的值,由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式:
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】上周某校高三年級(jí)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)試,年級(jí)組織任課教師對(duì)這次考試進(jìn)行成績(jī)分析現(xiàn)從中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本,已知這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?/span>40分至100分之間,現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組:第一組;第二組;……;第六組,并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù);
(2)從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名,求至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:
ωx+ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+) | 0 | 5 | -5 | 0 |
(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若關(guān)于x的方程g(x)-m=0在區(qū)間[0,]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是正方形, 平面, // , , , 為的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求證: //平面;
(3)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,如圖所示點(diǎn)為橢圓上任意三點(diǎn).
(Ⅰ)若,是否存在實(shí)數(shù),使得代數(shù)式為定值.若存在,求出實(shí)數(shù)和的值;若不存在,說明理由.
(Ⅱ)若,求三角形面積的最大值;
(Ⅲ)滿足(Ⅱ),且在三角形面積取得最大值的前提下,若線段與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)(不是橢圓的頂點(diǎn)).判斷四邊形的面積是否為定值.若是,求出定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱中,側(cè)面底面ABC,.
(1)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大。
(2)已知點(diǎn)D滿足,在直線上是否存在點(diǎn)P,使DP∥平面?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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