Question

已知拋物線y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，當n=1，2，3，…時，該拋物線在x軸上所截得的線段長依次組成數(shù)列{a_n}，其頂點的縱坐標依次組成數(shù)列{b_n}，求．

Answer 1

【答案】分析：先設拋物線在x軸上的兩個交點分別為：A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系寫出x₁+x₂，x₁•x₂，從而a_n和bn，利用拆項法求和a₁+…+a_n，b₁+…+b_n最后求出和的極限即可．
解答：解：設拋物線在x軸上的兩個交點分別為：A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁，x₂是方程n（n+1）x²-（2n+1）x+1=0的兩個根，
x₁+x₂=，x₁•x₂=
a_n=|x₁-x₂|===，
bn==（），
a₁+…+a_n=1-+-+…+=1-
b₁+…+b_n=（1-）
∴=lim （1-）=．
點評：本小題主要考查數(shù)列與解析幾何的綜合、拋物線的圖象與性質、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．