Question

(1)已知函數(shù)為有理數(shù)且)，求函數(shù)的最小值;
(2)①試用(1)的結(jié)果證明命題：設(shè)為有理數(shù)且，若時，則；
②請將命題推廣到一般形式，并證明你的結(jié)論；
注：當為正有理數(shù)時，有求導(dǎo)公式

Answer 1

（1）（2）①關(guān)鍵是利用函數(shù)的最小值為②利用數(shù)學歸納法可證。

試題分析：解：（Ⅰ）令
得
當時，，故在上遞減．
當，故在上遞增．
所以，當時，的最小值為 
（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知
，，即 
（ⅱ）命題推廣到一般形式為：設(shè)為有理數(shù)且，
若時，則.
下面用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，由（Ⅱ）（�。┲�，不等式成立；
②假設(shè)時，不等式成立，即，
那么時，要證，
即證，
設(shè)函數(shù)，
則，
令，得，
當時，，
故在上遞減；
當，類似可證，故在上遞增．
當時，的最小值為



，
由歸納假設(shè)知，所以，
，
時不等式成立.
綜上，原命題得證 
點評：本題用到的數(shù)學歸納法，在高中數(shù)學中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。若要證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立。對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設(shè)當n=k（k≥，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥），命題P(n）都成立。