設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)求證:當(dāng)a>ln2-1且x >0時(shí),ex>x2-2ax+1
(1) (2)見解析
解析試題分析:(1)首先求出的導(dǎo)數(shù),解方程,進(jìn)一步得到不等式與的解集,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
(2)欲證當(dāng)a>ln2-1且x >0時(shí),ex>x2-2ax+1,
令
則只需證當(dāng)時(shí),
從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值問題.
試題解析:解:(1)由知
令得于是當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:- 0 + 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增
故的單調(diào)遞減區(qū)間是,間調(diào)遞增區(qū)間是
在處取得極小值,極小值為 6分
(2)設(shè),于是
由(1)知,當(dāng)時(shí),
最小值為
于是對(duì)任意的,都有,所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)時(shí),對(duì)任意
都有
而,從而對(duì)任意,
即:故, 14分
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用;2、等價(jià)轉(zhuǎn)論的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax--3ln x,其中a為常數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時(shí),求函數(shù)f(x)在上的最小值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上既有極大值又有極小值,求a的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,過點(diǎn)P(1,-4)作函數(shù)F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求出這些切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)求證:
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已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1處的切線方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=時(shí),判斷方程f(x)=-的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.
(1)求的值及的極大值與極小值;
(2)若方程有三個(gè)互異的實(shí)根,求的取值范圍;
(3)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
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已知.
(1)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,求證:當(dāng)時(shí),恒成立;
(3)利用(2)的結(jié)論證明:若,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.
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