Question

【題目】求所有的正整數(shù)、、，使得是整數(shù)。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明一個(gè)引理.

引理 若、、是有理數(shù)，且也是有理數(shù)，則、、一定都是有理數(shù).

引理的證明：注意到 ，

.

設(shè).

則.

將上式兩邊平方得.

故是有理數(shù).

同理，、也是有理數(shù).

下面證明原題.

假設(shè)、、是滿足條件的正整數(shù).

又是整數(shù)，由引理知、、是有理數(shù).

設(shè)，且，，.

則.

因此，能整除.

所以，.從而 ，

同理， ，

.

將式、、代入原表達(dá)式知是正整數(shù).

得.

將式代入上式得，

同理.

注意到，分以下三種情況討論.

（1）當(dāng)時(shí)，，

由式、、知沒有正整數(shù)解.

（2）當(dāng)時(shí)，、、中必有一個(gè)等于1，另外兩個(gè)等于2，此時(shí)，并不存在滿足條件的、、.

（3）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).

則.

故或.

（i）若，則.此時(shí)，不存在滿足條件的、、.

（ii）若，則，且.故或.

a)若，則，此時(shí)，不存在滿足條件的、、.

b)若，則，存在滿足條件的、、.

計(jì)算得，

，

.

所以，、、中一個(gè)為，另外兩個(gè)均為.