Question

【題目】已知，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．

（1）若，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；

（2）若過點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍，可得所求范圍；

（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法，直線的斜率公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到所求斜率．

解：（1）時(shí)，橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)，，，，

設(shè)，可得，即，

，，，，

，

因?yàn)?/span>，

所以的范圍是；

（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，可得，，

則，兩式相減可得，

，即，

故，又設(shè)，，直線，

即直線的方程為，

從而，代入橢圓方程可得，，

由與，聯(lián)立得，

若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點(diǎn)，

所以，即，整理可得，

解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，

所以當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．