【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若和在有相同的單調區(qū)間,求的取值范圍;
(Ⅱ)令(),若在定義域內有兩個不同的極值點.
(i)求的取值范圍;
(ii)設兩個極值點分別為, ,證明: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(i)(ii)詳見解析
【解析】【試題分析】(1)借助題設條件,運用導數(shù)與函數(shù)的單調性之間的關系分析求解;(2)先依據(jù)題設條件將問題進行等價轉化,再運用導數(shù)知識分析求解:
(Ⅰ).函數(shù)的定義域為, ,
當時, ;當時, .
所以在上單調遞減,在上單調遞增.
若在上單調遞減,在上單調遞增,
則.
(Ⅱ)(i)依題意,函數(shù)的定義域為, ,
所以方程在有兩個不同根.
即方程在有兩個不同根,
轉化為,函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個不同交點,如圖.
可見,若令過原點且切于函數(shù)圖象的直線斜率為,
只需.
令切點,所以,又,所以,
解得,于是,所以.
(ii)由(i)可知, 分別是方程的兩個根,
即, ,不妨設,作差得,即,
原不等式等價于,即,即,
令,則, ,即,
設, , ,
∴函數(shù)在上單調遞增,∴,即不等式成立,
故所證不等式成立.
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【題目】(本小題滿分12分)在如圖所示的五面體中,面為直角梯形, ,平面平面, , 是邊長為2的正三角形.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】(數(shù)學(文)卷·2017屆湖北省沙市中學高三上學期第七次雙周練第16題)埃及數(shù)學中有一個獨特現(xiàn)象:除用一個單獨的符號表示以外,其它分數(shù)都要寫成若干個單分數(shù)和的形式.例如可以這樣理解:假定有兩個面包,要平均分給5個人,如果每人,不夠,每人,余,再將這分成5份,每人得,這樣每人分得.形如的分數(shù)的分解: , , ,按此規(guī)律, =____________; = ____________.
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【題目】已知橢圓的左右焦點與其短軸得一個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,直線與橢圓交于兩點,與軸, 軸分別相交于點合點,且,點時點關于軸的對稱點, 的延長線交橢圓于點,過點分別做軸的垂線,垂足分別為.
(1) 求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點平分線段?若存在,請求出直線的方程;若不存在,請說明理由。
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【題目】已知橢圓(),以橢圓內一點為中點作弦,設線段的中垂線與橢圓相交于, 兩點.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得, , , 在同一個圓上,并說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, ,側面底面, , , 分別為的中點,點在線段上.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.
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【題目】某城市理論預測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關系如下表所示
年份2010+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口數(shù)y(十萬) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程;
(2) 據(jù)此估計2015年該城市人口總數(shù)。
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【題目】已知橢圓的離心率,左頂點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為坐標原點, 是橢圓上的兩點,連接的直線平行交軸于點,證明: 成等比數(shù)列.
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